Drepte și plane în spațiu

Dreapta în spațiu

Ecuații parametrice

Dreapta ce trece prin P₀(x₀, y₀, z₀) cu vector director d = (a, b, c):

x = x₀ + at
y = y₀ + bt    t ∈ ℝ
z = z₀ + ct

Ecuații simetrice (carteziene)

(x − x₀)/a = (y − y₀)/b = (z − z₀)/c

Dreapta determinată de două puncte

Vectorul director: d = AB = B − A

Planul în spațiu

Ecuația generală

ax + by + cz + d = 0, (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)

Vectorul normal al planului: n = (a, b, c)

Planul determinat de un punct și vectorul normal

Planul ce trece prin P₀(x₀, y₀, z₀) cu normala n = (a, b, c):

a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0

Planul determinat de trei puncte

Se calculează doi vectori din cei trei puncte, se face produsul vectorial → vectorul normal.

Poziții relative — dreaptă față de plan

Fie dreapta d cu vector director v și planul π cu normala n:

• d ⊂ π (dreapta în plan): v ⊥ n și P₀ ∈ π
• d ∥ π (dreaptă paralelă cu planul): v ⊥ n și P₀ ∉ π
• d ∩ π = {P} (dreapta secantă): v nu este perpendicular pe n

Unghiul dintre dreaptă și plan: sin φ = |v · n| / (|v| · |n|)

Poziții relative — plan față de plan

Fie π₁: a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 și π₂: a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

• π₁ ∥ π₂: n₁ ∥ n₂, adică (a₁, b₁, c₁) = k(a₂, b₂, c₂) pentru k ≠ 0 și planele nu coincid
• π₁ ≡ π₂: n₁ ∥ n₂ și planele coincid
• π₁ ⊥ π₂: n₁ · n₂ = 0
• Plan secant: altfel

Unghiul dintre două plane: cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)

Poziții relative — dreaptă față de dreaptă

Fie d₁ cu vector v₁ și d₂ cu vector v₂:

• Paralele: v₁ ∥ v₂ și nu coincid
• Coincidente: v₁ ∥ v₂ și au un punct comun
• Secante: v₁ ∦ v₂ și au un punct comun (sunt coplanare)
• Încrucișate: v₁ ∦ v₂ și nu au puncte comune (nu sunt coplanare)

Distanțe în spațiu

Distanța de la punct la plan

d(P₀, π) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Distanța de la punct la dreaptă

d(P₀, d) = |P₀A × v| / |v|

unde A este un punct de pe dreaptă și v este vectorul director.

Distanța dintre drepte încrucișate

d = |(AB · (v₁ × v₂)| / |v₁ × v₂|

Unghi diedru

Unghiul dintre două semiplane cu dreapta comună (muchie):

• Se iau normele la muchie în fiecare semiplan
• Se calculează unghiul dintre aceste norme

Corpuri geometrice — formule de bază

Tetraedru regulat (muchie a)

• Aria totală: A = a²√3
• Volumul: V = a³√2 / 12

Prismă dreaptă (baza B, apotema a, înălțimea h)

• Aria laterală: Aₗ = Perimetru_baza · h
• Volumul: V = Arie_baza · h

Piramidă dreaptă

• Aria laterală: Aₗ = ½ · Perimetru_baza · apotema
• Volumul: V = ⅓ · Arie_baza · h

Sferă (raza R)

• Aria: A = 4πR²
• Volumul: V = (4/3)πR³

Con (raza R, generatoare g, înălțimea h)

• Aria laterală: Aₗ = πRg, g = √(R² + h²)
• Volumul: V = ⅓πR²h

Cilindru (raza R, înălțimea h)

• Aria laterală: Aₗ = 2πRh
• Volumul: V = πR²h

La examen — ce să știi

• Ecuația planului (generală și prin punct + normală)
• Distanța de la punct la plan
• Unghiuri dintre plan și dreaptă, plan și plan
• Formulele pentru arie și volum la corpurile geometrice clasice
• Verificarea pozițiilor relative (paralel, perpendicular, secant)