Analiză
Derivate
Definiție, derivatele funcțiilor elementare, reguli de derivare, derivate de ordin superior, teorema lui Rolle și Lagrange.
Definiție
Derivata funcției f în punctul x₀:
f’(x₀) = lim [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h (h → 0)
Dacă limita există, f este derivabilă în x₀.
Interpretare geometrică: f’(x₀) = panta tangentei la graficul lui f în punctul (x₀, f(x₀)).
Ecuația tangentei: y − f(x₀) = f’(x₀) · (x − x₀)
Ecuația normalei: y − f(x₀) = −1/f’(x₀) · (x − x₀)
Derivatele funcțiilor elementare
| Funcție | Derivată |
|---|---|
| c (constantă) | 0 |
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| eˣ | eˣ |
| aˣ | aˣ · ln a |
| ln x | 1/x |
| logₐx | 1 / (x · ln a) |
| sin x | cos x |
| cos x | −sin x |
| tg x | 1/cos²x = 1 + tg²x |
| ctg x | −1/sin²x |
| arcsin x | 1/√(1−x²) |
| arccos x | −1/√(1−x²) |
| arctg x | 1/(1+x²) |
Reguli de derivare
(f ± g)’ = f’ ± g’
(c · f)’ = c · f’
(f · g)’ = f’g + fg’ (regula produsului)
(f/g)’ = (f’g − fg’) / g² (regula câtului), g ≠ 0
(g ∘ f)‘(x) = g’(f(x)) · f’(x) (regula lanțului)
Derivate de ordin superior
f”(x) = (f’)‘(x) — derivata a doua (legată de convexitate)
f⁽ⁿ⁾(x) — derivata de ordin n
Formule utile:
- (eˣ)⁽ⁿ⁾ = eˣ
- (sin x)⁽ⁿ⁾ = sin(x + nπ/2)
- (xⁿ)⁽ⁿ⁾ = n!, (xⁿ)⁽ᵏ⁾ = 0 pentru k > n
Derivabilitate vs. continuitate
Derivabilă ⟹ Continuă (dar nu invers!)
Contraexemplu: f(x) = |x| este continuă în 0 dar nu derivabilă.
Teoreme diferențiale
Teorema lui Rolle
Dacă f este continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) și f(a) = f(b), atunci ∃ c ∈ (a, b) cu f’(c) = 0.
Teorema lui Lagrange (valoarea medie)
Dacă f este continuă pe [a, b] și derivabilă pe (a, b), atunci ∃ c ∈ (a, b) cu:
f’(c) = [f(b) − f(a)] / (b − a)
Interpretare: există un punct unde panta tangentei = panta secantei [a, b].
Teorema lui Cauchy (medie generalizată)
Dacă f, g continue pe [a, b], derivabile pe (a, b), g’(x) ≠ 0:
∃ c ∈ (a, b): [f(b) − f(a)] / [g(b) − g(a)] = f’(c) / g’(c)
Derivata funcției inverse
Dacă f este bijectivă și derivabilă, cu f’(x₀) ≠ 0:
(f⁻¹)‘(y₀) = 1 / f’(x₀), unde y₀ = f(x₀)
La examen — ce să știi
- Toate derivatele funcțiilor elementare (pe de rost)
- Regula lanțului pentru funcții compuse
- Ecuația tangentei și normalei la un punct
- Aplicarea teoremei lui Rolle și Lagrange
- Calculul derivatelor de ordin superior