Inecuații

Inecuații de gradul I

ax + b > 0 (sau <, ≥, ≤)

Rezolvare: izolăm x. Atenție: la împărțire sau înmulțire cu un număr negativ, sensul inecuației se inversează.

Exemplu: −2x + 4 ≥ 0 → −2x ≥ −4 → x ≤ 2 (s-a inversat ≥ → ≤ la împărțire cu −2)

Inecuații de gradul II

ax² + bx + c > 0 (sau <, ≥, ≤), cu a ≠ 0.

Discriminantul: Δ = b² − 4ac

Cazuri în funcție de Δ

Δ	Rădăcini	Semnul pentru a > 0
Δ < 0	nicio rădăcină reală	ax²+bx+c > 0 pentru toți x ∈ ℝ
Δ = 0	rădăcină dublă x₀	ax²+bx+c ≥ 0 pentru toți x (= 0 doar în x₀)
Δ > 0	două rădăcini x₁ < x₂	negativ pe (x₁, x₂), pozitiv în afară

Mnemotehnic (pentru a > 0): parabola cu “brațele în sus” este pozitivă în afara rădăcinilor, negativă între rădăcini.

Metoda intervalelor (tabelul semnelor)

Pentru inecuații de forma P(x) · Q(x) > 0 sau P(x) / Q(x) < 0:

1. Găsește zerourile lui P și Q
2. Marchează-le pe axa numerelor
3. Determină semnul pe fiecare interval (prin substituția unui punct de test)
4. Scrie soluția

Exemplu: (x − 1)(x + 3) < 0

Zerouri: x = 1, x = −3. Pe (−∞,−3): (−)·(−) = + / pe (−3, 1): (−)·(+) = − / pe (1,+∞): (+)·(+) = +

Soluție: x ∈ (−3, 1)

Inecuații cu modul

Definiție: |x| = x dacă x ≥ 0, |x| = −x dacă x < 0

Transformări esențiale

|f(x)| < a (a > 0) ⟺ −a < f(x) < a (interval)

|f(x)| > a (a > 0) ⟺ f(x) < −a sau f(x) > a (reuniune)

|f(x)| ≤ a ⟺ −a ≤ f(x) ≤ a

|f(x)| ≥ a ⟺ f(x) ≤ −a sau f(x) ≥ a

Ecuații cu modul (discuție de caz)

|f(x)| = g(x): dacă g(x) < 0 → fără soluții; dacă g(x) ≥ 0 → f(x) = g(x) sau f(x) = −g(x)

|f(x)| = |g(x)| ⟺ f(x) = g(x) sau f(x) = −g(x)

Exemple

1. |x − 2| < 3 ⟺ −3 < x − 2 < 3 ⟺ −1 < x < 5

2. |2x + 1| ≥ 5 ⟺ 2x + 1 ≤ −5 sau 2x + 1 ≥ 5 → x ≤ −3 sau x ≥ 2

3. |x − 1| < |x + 2|: ridicăm la pătrat (ambii membri sunt ≥ 0):

   (x−1)² < (x+2)² → x² − 2x + 1 < x² + 4x + 4 → −6x < 3 → x > −½

Inecuații exponențiale

Funcția aˣ este monotonă → putem compara exponenții, cu atenție la sens!

aˢ > aᵗ:

• dacă a > 1 → s > t (sens păstrat)
• dacă 0 < a < 1 → s < t (sensul se inversează!)

Exemple:

1. 2^(x−1) > 4 = 2² → x − 1 > 2 → x > 3

2. (⅓)ˣ ≤ 9 = 3² = (⅓)⁻² → x ≥ −2 (sensul se inversează, baza ⅓ < 1)

Substituția

La inecuații de tipul 4ˣ − 3·2ˣ − 4 ≤ 0, notăm t = 2ˣ > 0 și obținem inecuație algebrică în t.

Inecuații logaritmice

Condiție esențială: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive — scrie condițiile de existență înainte de orice altceva!

logₐ f(x) > logₐ g(x) (cu f(x) > 0, g(x) > 0):

• dacă a > 1 → f(x) > g(x) (sens păstrat)
• dacă 0 < a < 1 → f(x) < g(x) (sensul se inversează!)

Exemple:

1. log₂(x − 1) > 3 → x − 1 > 2³ = 8 → x > 9; condiție: x − 1 > 0 → x > 9 ✓

2. log_{½}(x + 3) < −2 → x + 3 > (½)⁻² = 4 → x > 1; condiție: x + 3 > 0 ✓ → x > 1

3. log₃ x > log₃(2x − 1) → x > 2x − 1 → x < 1; condiții: x > 0 și 2x − 1 > 0 → x > ½

   Intersecție: ½ < x < 1

Sistem de inecuații

Se rezolvă fiecare inecuație separat, apoi se ia intersecția (∩) mulțimilor soluție.

Exemplu: {x > 1 și x < 4} → x ∈ (1, 4)

La examen

• La inecuații gradul II cu a > 0: negativ între rădăcini, pozitiv în afară — desen rapid al parabolei!
• La modul: |f(x)| < a devine automat −a < f(x) < a (nu mai discuta cazuri)
• La exponențiale/logaritmice: identifică baza față de 1 — dacă 0 < a < 1, inversezi sensul
• Condițiile de existență la logaritmi se scriu întâi, iar soluția finală = intersecție cu ele
• Verificare rapidă: alege un punct din soluție și substituie în inecuație