Corpuri geometrice

Noțiuni generale

• Arie laterală (Aₗ): suma ariilor fețelor laterale
• Arie totală (At): Aₗ + ariile bazelor
• Apotema piramidei/conului (a): distanța de la vârful piramidei la mijlocul unei laturi a bazei, măsurată pe fața laterală (= înălțimea feței laterale)
• Apotema bazei (ap): distanța de la centrul bazei la mijlocul unei laturi a bazei

Paralelipipedul dreptunghic (cuboidul)

Dimensiuni: lungime a, lățime b, înălțime c.

• Diagonala spațială: d = √(a² + b² + c²)
• Aria totală: At = 2(ab + bc + ca)
• Volumul: V = abc

Cubul (a = b = c)

• Diagonala spațială: d = a√3
• Aria totală: At = 6a²
• Volumul: V = a³

Prisma dreaptă

Baza = poligon regulat cu n laturi de lungime l, apotema bazei = ap, perimetrul bazei = P, aria bazei = Ab, înălțimea prismei = h.

• Aria laterală: Aₗ = P · h
• Aria totală: At = Aₗ + 2Ab
• Volumul: V = Ab · h

Prismă triunghiulară regulată (baza = triunghi echilateral cu latura l)

• Ab = l²√3 / 4
• ap = l√3 / 6 · … → ap = l / (2√3) = l√3 / 6

Mai simplu: ap = l√3/6 sau (l/2)/tg(60°) = l/(2√3)

• Aₗ = 3lh
• V = (l²√3/4) · h

Prismă hexagonală regulată (baza = hexagon regulat cu latura l)

• Ab = 3l²√3 / 2
• Aₗ = 6lh
• V = (3l²√3/2) · h

Piramida dreaptă regulată

Baza = poligon regulat cu n laturi de lungime l, apotema bazei = ap, perimetrul bazei = P, aria bazei = Ab, înălțimea piramidei = h.

Legătura apotemă – înălțime – raza bazei:

Fie R = raza cercului circumscris bazei, ap = raza cercului înscris bazei.

a² = ap² + h² (apotema piramidei a se calculează din triunghi dreptunghic)

• Aria laterală: Aₗ = ½ · P · a (unde a = apotema piramidei)
• Aria totală: At = Aₗ + Ab
• Volumul: V = ⅓ · Ab · h

Piramida triunghiulară regulată (tetraedru regulat, latura l)

• Ab = l²√3 / 4
• h = l√(2/3) = l√6 / 3
• a (apotema piramidei) = l√3/2 · … → a = l√3/2 (jumătate din altitudinea feței)

Atenție: apotema piramidei ≠ apotema bazei!

Tetraedru regulat (toate fețele = triunghiuri echilaterale cu latura l):

• h = l√6 / 3
• At = 4 · (l²√3/4) = l²√3
• V = l³√2 / 12

Piramida patrulateră regulată (baza = pătrat cu latura l)

• Ab = l²
• ap (apotema bazei) = l/2
• a (apotema piramidei) = √(h² + (l/2)²)
• R (raza circumscrisă bazei) = l√2/2
• Muchia laterală (desă) = √(h² + R²) = √(h² + l²/2)
• Aₗ = 4 · ½ · l · a = 2la
• V = ⅓l²h

Trunchiul de piramidă regulată

Baza mare: perimetru P₁, arie Ab₁; Baza mică: perimetru P₂, arie Ab₂; apotema trunchiului = a_t; înălțimea = h.

Apotema trunchiului (înălțimea unei fețe trapezoidale):

a_t = √(h² + (ap₁ − ap₂)²)

• Aria laterală: Aₗ = ½ · (P₁ + P₂) · a_t
• Volumul: V = ⅓ · h · (Ab₁ + Ab₂ + √(Ab₁ · Ab₂))

Conul circular drept

Raza bazei = R, înălțimea = h, generatoarea = g.

Relație esențială: g = √(R² + h²)

• Aria laterală: Aₗ = π · R · g
• Aria totală: At = πRg + πR² = πR(g + R)
• Volumul: V = ⅓πR²h

Trunchiul de con

Raza mare = R, raza mică = r, înălțimea = h, generatoarea = g.

g = √(h² + (R − r)²)

• Aria laterală: Aₗ = π(R + r) · g
• Aria totală: At = π(R + r)g + πR² + πr²
• Volumul: V = ⅓πh(R² + Rr + r²)

Cilindrul circular drept

Raza = R, înălțimea = h.

• Aria laterală: Aₗ = 2πRh
• Aria totală: At = 2πRh + 2πR² = 2πR(h + R)
• Volumul: V = πR²h

Sfera

Raza = R.

• Aria: A = 4πR²
• Volumul: V = (4/3)πR³

Sfera înscrisă și circumscrisă

Sferă înscrisă în cub (latura a): r = a/2

Sferă circumscrisă cubului (latura a): R = a√3/2

Sferă înscrisă în tetraedru regulat (latura a): r = a√6/12

Sferă circumscrisă tetraedrului regulat (latura a): R = a√6/4

Tehnici de raționament geometric

Identificarea triunghiului dreptunghic

Aproape orice problemă cu corpuri geometrice se reduce la unul sau mai multe triunghiuri dreptunghice. Caută:

• Înălțimea corpului ⊥ planul bazei
• Apotema piramidei/conului = ipotenuza în triunghiul (h, ap_baza, a_piramida)
• Muchia laterală = ipotenuza în triunghiul (h, R_baza, muchie)

Secțiunea axială

Secțiunea care conține axa de simetrie a conului sau cilindrului este un triunghi isoscel (la con) sau un dreptunghi (la cilindru).

Relații de proporționalitate

Dacă un con mic și un trunchi de con provin din același con mare (prin secțiune paralelă cu baza):

R/R_mare = r/R_mare = h_mic/H → folosești asemănarea triunghiurilor din secțiunea axială.

La examen

• Apotema piramidei ≠ apotema bazei — prima e pe fața laterală, a doua e în planul bazei
• La piramidă patrulateră: apotema piramidei = √(h² + (l/2)²), muchia laterală = √(h² + l²/2)
• La con: scrie mai întâi g = √(R²+h²), apoi aplică formulele
• La trunchi de con: g = √(h²+(R−r)²) — nu uita să scazi razele
• Trunchiul de piramidă: formula volumului cu cei trei termeni este cel mai des greșită — memorează-o separat
• Desenează secțiunea axială pentru a vizualiza relațiile dintre h, R, g, a