Integrale

Primitive (antiderivate)

F este primitivă a lui f pe I dacă F’(x) = f(x) pentru orice x ∈ I.

Dacă F este o primitivă a lui f, atunci mulțimea tuturor primitivelor este: F(x) + C, C ∈ ℝ.

Notație: ∫ f(x) dx = F(x) + C

Tabel de primitive elementare

f(x)	∫ f(x) dx
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
1/x	ln
eˣ	eˣ + C
aˣ	aˣ / ln a + C
sin x	−cos x + C
cos x	sin x + C
1/cos²x	tg x + C
1/sin²x	−ctg x + C
1/√(1−x²)	arcsin x + C
1/(1+x²)	arctg x + C
1/√x	2√x + C

Proprietăți ale integralei nedefinite

• ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
• ∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx, k ∈ ℝ

Metode de integrare

Metoda substituției (schimbarea de variabilă)

∫ f(g(x)) · g’(x) dx — se face substituția u = g(x):

∫ f(u) du

Exemplu: ∫ 2x · e^(x²) dx → u = x², du = 2x dx → ∫ eᵘ du = eᵘ + C = e^(x²) + C

Integrarea prin părți

∫ f · g’ dx = f · g − ∫ f’ · g dx

Sau: ∫ u dv = u · v − ∫ v du

Cum alegi u: LIATE (Logaritm, Invers trigonometric, Algebric, Trigonometric, Exponențial) — prima din listă devine u.

Exemplu: ∫ x · eˣ dx → u = x, dv = eˣ dx → u·v − ∫ v du = x·eˣ − eˣ + C

Integrala definită

Definiție Riemann: ∫[a,b] f(x) dx = lim Σ f(xᵢ) · Δxᵢ

Formula Leibniz-Newton:

∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a)

unde F este orice primitivă a lui f.

Proprietăți ale integralei definite

• ∫[a,a] f(x) dx = 0
• ∫[a,b] f(x) dx = −∫[b,a] f(x) dx
• ∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx (aditivitate)
• ∫[a,b] k · f(x) dx = k · ∫[a,b] f(x) dx
• Dacă f ≥ 0 pe [a, b], atunci ∫[a,b] f(x) dx ≥ 0
• Valoarea medie: 1/(b−a) · ∫[a,b] f(x) dx

Aplicații geometrice

Aria sub grafic

Dacă f ≥ 0 pe [a, b]: A = ∫[a,b] f(x) dx

Aria între două curbe

A = ∫[a,b] |f(x) − g(x)| dx

Dacă f ≥ g pe [a, b]: A = ∫[a,b] [f(x) − g(x)] dx

Volumul de rotație (față de Ox)

V = π · ∫[a,b] [f(x)]² dx

La examen — ce să știi

• Toate primitivele elementare (pe de rost)
• Integrarea prin substituție și prin părți
• Formula Leibniz-Newton pentru integrale definite
• Calculul ariei dintre două curbe (inclusiv cu determinarea punctelor de intersecție)
• Volumul solidului de rotație