Limite și continuitate

Limite de funcții

lim f(x) = L (x → x₀) înseamnă că f(x) se apropie de L când x se apropie de x₀.

Limite laterale

• Limita la stânga: lim f(x) = L⁻ (x → x₀⁻)
• Limita la dreapta: lim f(x) = L⁺ (x → x₀⁺)

Limita există ⟺ L⁻ = L⁺

Limite standard (de memorat)

• lim sin x / x = 1 (x → 0)
• lim (1 − cos x) / x² = 1/2 (x → 0)
• lim tg x / x = 1 (x → 0)
• lim (eˣ − 1) / x = 1 (x → 0)
• lim ln(1 + x) / x = 1 (x → 0)
• lim (aˣ − 1) / x = ln a (x → 0)
• lim (1 + x)^(1/x) = e (x → 0)

Forme nedeterminate și tehnici

Formă	Tehnică
0/0	Factorizare, L’Hôpital, limite standard
∞/∞	Împărțire prin termenul dominant, L’Hôpital
∞ − ∞	Factorizare, înmulțire cu conjugata
0 · ∞	Rescrie ca 0/0 sau ∞/∞
1^∞	Scrie ca e^(∞·0), aplică lim ln(1+u)/u = 1

Regula lui L’Hôpital

Dacă lim f(x)/g(x) este formă nedeterminată 0/0 sau ∞/∞:

lim f(x)/g(x) = lim f’(x)/g’(x)

(cu condiția că ultima limită există)

Continuitate

f este continuă în x₀ dacă:

1. f(x₀) este definit
2. lim f(x) există (x → x₀)
3. lim f(x) = f(x₀)

Tipuri de discontinuitate:

• Eliminabilă: limita există dar f(x₀) lipsește sau diferă
• Salt: limitele laterale există dar sunt diferite
• Esențială: cel puțin o limită laterală este ±∞

Operații cu funcții continue

Dacă f, g sunt continue în x₀, atunci f ± g, f · g, f/g (g(x₀) ≠ 0) sunt continue în x₀.

Compoziția: dacă f e continuă în x₀ și g e continuă în f(x₀), atunci g ∘ f este continuă în x₀.

Teoreme importante

Teorema lui Cauchy (valori intermediare)

Dacă f este continuă pe [a, b] și k este orice valoare între f(a) și f(b), atunci ∃ c ∈ (a, b) cu f(c) = k.

Consecință: Dacă f(a) · f(b) < 0, atunci f are cel puțin o rădăcină în (a, b).

Teorema Weierstrass

Dacă f este continuă pe [a, b], atunci f este mărginită și atinge extremele.

Asimptote

Asimptota verticală x = a

lim f(x) = ±∞ (x → a⁺ sau x → a⁻)

Asimptota orizontală y = L

lim f(x) = L (x → ±∞)

Asimptota oblică y = mx + n

m = lim f(x)/x (x → ±∞), n = lim [f(x) − mx] (x → ±∞)

Asimptota orizontală este caz particular cu m = 0.

La examen — ce să știi

• Calculul limitelor cu forme nedeterminate (toate tehnicile)
• Limitele standard sin x/x, (1+x)^(1/x) = e, eˣ−1/x
• Determinarea asimptotelor (verticale, orizontale, oblice)
• Studiul continuității unei funcții definite pe bucăți
• Aplicarea teoremei valorilor intermediare pentru existența soluțiilor