Geometrie analitică în plan

Sistemul de axe carteziene

Planul cartezian Oxy este determinat de două drepte perpendiculare: axa Ox (absciselor) și axa Oy (ordonatelor).

Punctul A(x_A, y_A): x_A = abscisa, y_A = ordonata.

Distanța dintre două puncte

|AB| = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²]

Mijlocul segmentului AB: M = ((x_A + x_B)/2 , (y_A + y_B)/2)

Dreapta în plan

Ecuații ale dreptei

Forma explicită: y = mx + n, unde m = panta, n = ordonata la origine

Forma implicită (generală): ax + by + c = 0

Forma cu două puncte A(x_A, y_A), B(x_B, y_B):

(y − y_A) / (y_B − y_A) = (x − x_A) / (x_B − x_A)

Forma punct-pantă: y − y₀ = m(x − x₀) (dreapta prin P(x₀, y₀) cu panta m)

Forma segmentară: x/a + y/b = 1 (a ≠ 0, b ≠ 0 — intercepții cu axele)

Panta dreptei

m = tg α unde α este unghiul cu axa Ox (α ≠ 90°)

m = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) (dacă x_A ≠ x_B)

Dreapta verticală (x = constant) nu are pantă definită.

Drepte paralele și perpendiculare

Dreptele d₁: y = m₁x + n₁ și d₂: y = m₂x + n₂ sunt:

• paralele ⟺ m₁ = m₂ (și n₁ ≠ n₂)
• perpendiculare ⟺ m₁ · m₂ = −1
• identice ⟺ m₁ = m₂ și n₁ = n₂

Unghiul dintre două drepte

tg φ = |m₁ − m₂| / (1 + m₁ · m₂) (dacă 1 + m₁m₂ ≠ 0)

Distanța de la un punct la o dreaptă

Dreapta d: ax + by + c = 0, punctul M(x₀, y₀):

d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Punctele de pe aceeași parte a dreptei au ax + by + c cu același semn.

Aria triunghiului

Cu coordonatele vârfurilor A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C):

Aria = ½ · |x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B)|

Sau, echivalent, ½ din valoarea absolută a determinantului:

| x_A  y_A  1 |
| x_B  y_B  1 |
| x_C  y_C  1 |

Cu baza și înălțimea:

Aria = ½ · baza · h, unde h = distanța de la vârf la latura opusă.

Dreapta mediată a unui segment AB

1. Calculează M = mijlocul lui AB
2. Panta lui AB: m_AB = (y_B − y_A)/(x_B − x_A)
3. Panta mediatoarei: m_⊥ = −1/m_AB
4. Ecuație: y − y_M = m_⊥ · (x − x_M)

Cercul

Ecuația cercului cu centrul C(a, b) și raza r:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Forma generală: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Centrul: (−D/2, −E/2); raza: r = √(D²/4 + E²/4 − F)

Ecuația tangentei la cerc

Tangenta la cercul (x−a)² + (y−b)² = r² în punctul P(x₀, y₀) de pe cerc:

(x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r²

Poziția unui punct față de cerc

Fie M(x₀, y₀) și cercul cu centrul O(a, b), raza r:

• (x₀ − a)² + (y₀ − b)² < r² → M este interior cercului
• (x₀ − a)² + (y₀ − b)² = r² → M este pe cerc
• (x₀ − a)² + (y₀ − b)² > r² → M este exterior cercului

Poziția unei drepte față de cerc

Fie d = distanța de la centrul cercului la dreaptă:

• d < r → dreapta este secantă (2 puncte comune)
• d = r → dreapta este tangentă (1 punct comun)
• d > r → dreapta este exterioară (fără puncte comune)

Colinearitatea punctelor

Punctele A, B, C sunt coliniare ⟺ aria triunghiului ABC = 0

⟺ x_A(y_B − y_C) + x_B(y_C − y_A) + x_C(y_A − y_B) = 0

⟺ pantele AB și AC sunt egale (dacă nu sunt pe verticală)

Centrul de greutate al triunghiului

G = ((x_A + x_B + x_C)/3 , (y_A + y_B + y_C)/3)

La examen

• Formula ariei este cea mai folosită — memorează varianta desfăcută cu x_A, x_B, x_C
• La distanța punct-dreaptă, aduce mai întâi dreapta la forma ax + by + c = 0
• Pentru cerc din formă generală: completează la pătrat sau aplică direct formulele centrului și razei
• La paralelism: m₁ = m₂; la perpendicularitate: m₁ · m₂ = −1
• Verifică colinearitatea prin aria = 0
• Centrul de greutate: media aritmetică a coordonatelor vârfurilor