Funcții exponențiale și logaritmice

Funcția exponențială

Definiție: f: ℝ → (0, +∞), f(x) = aˣ, unde a > 0, a ≠ 1

Proprietăți

• Domeniu: ℝ (toți reali)
• Codomeniu: (0, +∞) — valorile sunt strict pozitive
• Graficul trece prin (0, 1) și (1, a)
• Dacă a > 1: funcție strict crescătoare; dacă 0 < a < 1: funcție strict descrescătoare
• Este bijectivă (deci are inversă = funcția logaritmică)
• a⁰ = 1 pentru orice a valabilă
• Asimptotă orizontală: y = 0 (graficul se apropie de axa Ox)

Reguli de calcul cu puteri

Formulă	Exemplu
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ	2³ · 2⁴ = 2⁷
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ	3⁵ / 3² = 3³
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ	(2³)² = 2⁶
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ	(2·3)⁴ = 2⁴·3⁴
a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8
a^(1/n) = ⁿ√a	8^(⅓) = ∛8 = 2
a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)	4^(3/2) = √(4³) = √64 = 8

Funcția logaritmică

Definiție: inversa funcției exponențiale.

logₐ x = y ⟺ aʸ = x (pentru a > 0, a ≠ 1, x > 0)

Domeniu: (0, +∞) — logaritmul este definit doar pentru numere pozitive!

Codomeniu: ℝ

Valori de bază (de memorat)

• logₐ a = 1 (deoarece a¹ = a)
• logₐ 1 = 0 (deoarece a⁰ = 1)
• logₐ aⁿ = n
• a^(logₐ x) = x (funcții inverse, se anulează reciproc)

Cazuri speciale

• Logaritm natural: ln x = logₑ x (baza e ≈ 2,718)
• Logaritm zecimal: lg x = log₁₀ x

Graficul funcției logaritmice

• Trece prin (1, 0) și (a, 1)
• Dacă a > 1: strict crescătoare; dacă 0 < a < 1: strict descrescătoare
• Asimptotă verticală: x = 0 (axa Oy)

Proprietăți ale logaritmilor

logₐ(x · y) = logₐ x + logₐ y ← produsul devine sumă

logₐ(x / y) = logₐ x − logₐ y ← câtul devine diferență

logₐ(xⁿ) = n · logₐ x ← puterea coboară

logₐ x = logᵦ x / logᵦ a ← schimbarea bazei

logₐ b · logᵦ a = 1, deci logₐ b = 1 / logᵦ a

Ecuații exponențiale

Tipul 1: aceeași bază → egalăm exponenții

aˢ = aᵗ ⟹ s = t (funcția aˣ este injectivă)

Exemplu: 2^(x+1) = 2³ ⟹ x + 1 = 3 ⟹ x = 2

Tipul 2: reducere la aceeași bază

Exemplu: 4ˣ = 8^(x−1) → 2²ˣ = 2^(3(x−1)) → 2x = 3x − 3 → x = 3

Tipul 3: substituție (ecuație pătratică ascunsă)

Notăm t = aˣ (t > 0) și obținem ecuație în t.

Exemplu: 4ˣ − 3 · 2ˣ − 4 = 0; notăm t = 2ˣ, t > 0 → (2ˣ)² = 4ˣ:

t² − 3t − 4 = 0 → (t − 4)(t + 1) = 0 → t = 4 (t = −1 se respinge, t > 0)

2ˣ = 4 = 2² → x = 2

Tipul 4: logaritmând ambii membri

Dacă bazele nu se potrivesc: x · ln a = ln b → x = ln b / ln a = logₐ b

Ecuații logaritmice

Tipul 1: logₐ f(x) = logₐ g(x) ⟹ f(x) = g(x), cu condiția f(x) > 0, g(x) > 0

Tipul 2: logₐ f(x) = c ⟹ f(x) = aᶜ, cu condiția f(x) > 0

Tipul 3: substituție t = logₐ x → ecuație algebrică în t

Exemplu: (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0; t = log₂ x:

t² − 3t + 2 = 0 → t = 1 sau t = 2

log₂ x = 1 → x = 2; log₂ x = 2 → x = 4

Condiții de existență: la orice ecuație logaritmică, argumentul trebuie să fie strict pozitiv. Verifică soluțiile la final!

Inecuații exponențiale

aˢ > aᵗ:

• dacă a > 1 → s > t (sens păstrat)
• dacă 0 < a < 1 → s < t (sensul se inversează!)

Inecuații logaritmice

logₐ f(x) > logₐ g(x), cu f(x) > 0, g(x) > 0:

• dacă a > 1 → f(x) > g(x) (sens păstrat)
• dacă 0 < a < 1 → f(x) < g(x) (sensul se inversează!)

La examen

• Domeniul logaritmului = (0, +∞) — verifică întotdeauna condițiile de existență
• La inecuații, identifică baza față de 1 — dacă 0 < a < 1, inversezi sensul
• Substituția t = aˣ sau t = logₐ x transformă ecuații aparent dificile în ecuații pătratice
• Schimbarea de bază: logₐ b = ln b / ln a — util mai ales la probleme cu ln și lg
• Proprietatea cheie: logₐ(xⁿ) = n · logₐ x — exponenții “coboară” în factor