Cercul — geometrie analitică

Ecuația cercului — recap

Forma canonică: (x − a)² + (y − b)² = r², centrul C(a, b), raza r.

Forma generală: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

• Centrul: C(−D/2, −E/2)
• Raza: r = √(D²/4 + E²/4 − F)

Condiție ca ecuația să reprezinte un cerc: D²/4 + E²/4 − F > 0

Trecerea de la forma generală la canonică: completare la pătrat în x și y.

Exemplu: x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0

(x−2)² − 4 + (y+3)² − 9 − 3 = 0 → (x−2)² + (y+3)² = 16 → C(2, −3), r = 4

Cercul determinat de 3 puncte

Orice 3 puncte necoliniare determină un unic cerc.

Metoda: fie ecuația generală x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Substituind cele 3 puncte se obține un sistem liniar 3×3 în D, E, F.

Exemplu: cerc prin A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0):

• A: 1 + D + F = 0
• B: 1 + E + F = 0
• C: 1 − D + F = 0

Din (A) și (C): D = 0; din (A): F = −1; din (B): E = 0.

Ecuația: x² + y² − 1 = 0 → cerc cu centrul O(0,0) și raza 1.

Alternativă geometrică: centrul cercului circumscris unui triunghi = intersecția mediatoarele laturilor.

Tangenta la cerc

Tangenta în punct de pe cerc

Tangenta la (x−a)² + (y−b)² = r² în punctul P(x₀, y₀) ∈ cerc:

(x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r²

Intuiție: înlocuiești x₀² cu x₀·x, y₀² cu y₀·y în ecuația cercului, iar x₀ și y₀ rămân pe loc.

Exemplu: tangenta la x² + y² = 25 în P(3, 4):

3(x − 0) + 4(y − 0) = 25 → 3x + 4y = 25

Tangente dintr-un punct exterior

Fie M(x₀, y₀) exterior cercului C(a, b), raza r. Distanța de la M la centru: d = |CM|.

Lungimea tangentei (de la M la punctul de tangență):

t = √(d² − r²) = √[(x₀−a)² + (y₀−b)² − r²]

Numărul tangentelor din punct la cerc:

• M exterior (d > r): 2 tangente
• M pe cerc (d = r): 1 tangentă (în acel punct)
• M interior (d < r): 0 tangente

Calculul tangentelor dintr-un punct exterior: fie tangenta y − y₀ = m(x − x₀) (sau forma generală dacă panta e nedefinită). Condiția de tangență: distanța de la centru la dreaptă = r.

Exemplu: tangente din M(5, 0) la x² + y² = 9

Dreapta prin M: y = m(x − 5). Distanța de la O(0,0): |−5m| / √(m²+1) = 3

25m² = 9(m²+1) → 16m² = 9 → m = ±3/4

Tangentele: y = (3/4)(x−5) și y = −(3/4)(x−5)

Puterea unui punct față de cerc

Fie cercul C(a, b), raza r, și punctul M(x₀, y₀).

Puterea punctului M față de cerc:

p(M) = (x₀−a)² + (y₀−b)² − r²

• p(M) > 0 → M exterior (p(M) = t², lungimea tangentei la pătrat)
• p(M) = 0 → M pe cerc
• p(M) < 0 → M interior

Proprietate: dacă o dreaptă prin M intersectează cercul în A și B, atunci:

MA · MB = |p(M)|

(produsul distanțelor de la M la cele 2 puncte de intersecție = valoarea absolută a puterii — teorema puterii punctului)

Poziția relativă a două cercuri

Fie C₁(a₁, b₁), r₁ și C₂(a₂, b₂), r₂ cu r₁ ≥ r₂. Distanța între centre: d = |C₁C₂|.

Condiție	Poziție	Puncte comune
d > r₁ + r₂	exterioare	0
d = r₁ + r₂	tangente exterior	1
	r₁ − r₂	< d < r₁ + r₂
d =	r₁ − r₂
d <	r₁ − r₂
d = 0, r₁ = r₂	concentrice egale	∞

Intersecția dreptei cu cercul

Fie dreapta d și cercul C. Calculezi distanța δ de la centrul C la dreapta d.

• δ > r: dreapta nu intersectează cercul
• δ = r: dreapta este tangentă la cerc
• δ < r: dreapta este secantă (2 puncte comune)

Coordonatele punctelor de intersecție: substituie ecuația dreptei în ecuația cercului → ecuație de grad II în x (sau y).

Lungimea coardei: l = 2√(r² − δ²)

Fascicul de cercuri (opțional, M1 avansat)

Fie cercurile C₁: x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 și C₂: x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0.

Combinația liniară: (C₁) + λ(C₂) = 0 (λ ∈ ℝ, λ ≠ −1) generează un fascicul de cercuri ce trec prin intersecția C₁ ∩ C₂.

Util pentru a găsi cercul din fascicul care satisface o condiție suplimentară.

La examen

• Cercul prin 3 puncte: sistem 3×3 în D, E, F (sau mediatoare)
• Tangente dintr-un punct exterior: condiția distanță centru → dreaptă = r
• Lungimea tangentei: t = √(d² − r²) — se calculează direct fără să găsești punctele de tangență
• Coarda: lungime = 2√(r² − δ²), unde δ = distanța de la centru la coardă
• La intersecție dreaptă–cerc: substituie dreapta în cerc, obții ecuație de grad II, discriminantul spune câte soluții sunt
• Puterea punctului = (x₀−a)²+(y₀−b)²−r² — memorează formula, apare în multe probleme