Polinoame

Definiție

Un polinom de grad n cu coeficienți reali:

P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀, aₙ ≠ 0

Gradul polinomului P este n. Gradul polinomului nul este −∞ (convențional).

Operații cu polinoame

Adunare și scădere: se adună / scad coeficienții termenilor de același grad.

Înmulțire: coeficientul lui xᵏ din P·Q este suma cₖ = Σ aᵢ · bⱼ cu i + j = k.

Gradul produsului: deg(P · Q) = deg(P) + deg(Q)

Teorema împărțirii cu rest

∀ P, D polinoame, D ≠ 0, ∃! Q, R astfel încât:

P(x) = D(x) · Q(x) + R(x), unde deg(R) < deg(D)

Schema lui Horner

Metodă rapidă pentru împărțirea la (x − a) și evaluarea P(a).

Exemplu: P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5, a = 2

 2 | 2  -3   1  -5
   |     4   2   6
   +--------------
     2   1   3   1

Rezultat: P(x) = (x − 2)(2x² + x + 3) + 1, deci P(2) = 1

Teorema lui Bézout (rădăcini)

a este rădăcina lui P(x) ⟺ (x − a) | P(x) ⟺ P(a) = 0

Consecință: Dacă P are gradul n, poate avea cel mult n rădăcini reale (contând multiplicitățile).

Relațiile lui Viète

Polinom de gradul 2: ax² + bx + c = 0, cu rădăcinile x₁, x₂

• x₁ + x₂ = −b/a
• x₁ · x₂ = c/a

Polinom de gradul 3: ax³ + bx² + cx + d = 0, cu rădăcinile x₁, x₂, x₃

• x₁ + x₂ + x₃ = −b/a
• x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
• x₁ · x₂ · x₃ = −d/a

Polinoame cu coeficienți reali — proprietate importantă

Dacă P are coeficienți reali și z = a + bi (b ≠ 0) este rădăcină complexă, atunci și z̄ = a − bi este rădăcină.

Consecință: Orice polinom de grad impar cu coef. reali are cel puțin o rădăcină reală.

Descompunerea în factori ireductibili (peste ℝ)

Orice polinom cu coeficienți reali se descompune într-un produs de:

• factori liniari (x − a) pentru rădăcinile reale
• factori pătratici ireductibili (x² + px + q, Δ < 0) pentru rădăcinile complexe conjugate

Polinoame speciale

Polinomul caracteristic: important în context matriceal.

Polinoame simetrice / antisimetrice: P(−x) = P(x) resp. P(−x) = −P(x).

La examen — ce să știi

• Împărțirea polinoamelor + schema lui Horner
• Găsirea rădăcinilor raționale (candidați: divisorii termenului liber / coeficientul principal)
• Aplicarea relațiilor lui Viète pentru a determina coeficienți
• Descompunerea unui polinom în factori ireductibili