Sisteme de ecuații liniare

Sisteme liniare — forma generală

Un sistem de m ecuații cu n necunoscute:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

Forma matriceală: A · X = B, unde A = matricea coeficienților, X = coloana necunoscutelor, B = coloana termenilor liberi.

Matricea completă (augmentată): (A | B)

Teorema Kronecker-Capelli

Un sistem A · X = B este:

• compatibil (are soluții) ⟺ rang(A) = rang(A|B)
• incompatibil (fără soluții) ⟺ rang(A) ≠ rang(A|B)

Dacă sistemul este compatibil:

• determinat (soluție unică) ⟺ rang(A) = rang(A|B) = n
• nedeterminat (infinit de soluții) ⟺ rang(A) = rang(A|B) < n

Rangul unei matrice

Rangul matricei A = cel mai mare ordin al unui minor (subdeterminant) nenul.

Metoda practică: prin operații elementare pe linii, se aduce la formă treaptă (Gauss) și se numără liniile nenule.

Metoda Cramer (sisteme n × n cu det(A) ≠ 0)

Dacă sistemul are n ecuații, n necunoscute și det(A) ≠ 0, atunci există soluție unică:

xₖ = det(Aₖ) / det(A)

unde Aₖ este matricea obținută înlocuind coloana k cu coloana B a termenilor liberi.

Exemplu — sistem 2 × 2:

2x + 3y = 7
x  − y  = 1

det(A) = 2·(−1) − 3·1 = −5

det(A₁) = | 7 3 | = 7·(−1) − 3·1 = −10 → x = −10/(−5) = 2 | 1 −1 |

det(A₂) = | 2 7 | = 2·1 − 7·1 = −5 → y = −5/(−5) = 1 | 1 1 |

Exemplu — sistem 3 × 3:

x + 2y + z  = 6
2x + y  − z = 3
x − y  + 2z = 5

Se calculează det(A), det(A₁), det(A₂), det(A₃) și se aplică formula Cramer.

Metoda Gauss (eliminarea gaussiană)

Se aplică operații elementare pe linii asupra matricei complete (A|B):

1. Înmulțirea unei linii cu un scalar nenul
2. Adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un scalar
3. Schimbarea ordinii a două linii

Scopul: obținerea formei treaptă (escalonată), apoi rezolvarea prin substituție ascendentă.

Exemplu:

(A|B) = | 1  2  1 | 6 |
        | 2  1 -1 | 3 |
        | 1 -1  2 | 5 |

L2 ← L2 − 2·L1: (0, −3, −3 | −9)

L3 ← L3 − L1: (0, −3, 1 | −1)

L3 ← L3 − L2: (0, 0, 4 | 8) → z = 2

Din L2: −3y − 6 = −9 → y = 1

Din L1: x + 2 + 2 = 6 → x = 2

Sisteme omogene

A · X = 0 (toți termenii liberi = 0).

Un sistem omogen are întotdeauna soluția trivială X = 0.

• dacă det(A) ≠ 0 → soluție unică (cea trivială)
• dacă det(A) = 0 → infinit de soluții (inclusiv soluții netriviale)

Discuție după un parametru

Când un sistem conține un parametru m (sau λ), se discută:

1. Calculează det(A) în funcție de parametru
2. Dacă det(A) ≠ 0 → Cramer, soluție unică
3. Dacă det(A) = 0 → verifică rang(A|B) vs rang(A):
   • rang egale → infinit de soluții
   • ranguri diferite → incompatibil

La examen

• La Subiectul I apar frecvent sisteme 2×2 sau 3×3 cu Cramer
• Verifică semnul la calculul cofactorilor din Cramer
• Metoda Gauss este mai sigură la sisteme 3×3 cu valori mari
• La discuție: calculează întâi det(A), găsește valorile parametrului ce-l anulează, apoi verifică rangul
• Dacă det(A) = 0, nu uita să verifici dacă sistemul este incompatibil (nu presupune automat că are soluții)