Trigonometrie

Unghiuri și cercul trigonometric

Un unghi orientat are un sens (pozitiv = trigonometric = invers acelor de ceasornic).

Conversia radiani ↔ grade:

rad = grade × π / 180

grade = rad × 180 / π

Valori esențiale: 0° = 0, 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π

Definiții pe cercul unitate

Pe cercul unitate (raza = 1), pentru un punct P(x, y) la unghi α:

cos α = x (abscisa punctului)

sin α = y (ordonata punctului)

tg α = sin α / cos α (dacă cos α ≠ 0)

ctg α = cos α / sin α (dacă sin α ≠ 0)

Tabel de valori

Unghi	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
sin	0	½	√2/2	√3/2	1	0	−1
cos	1	√3/2	√2/2	½	0	−1	0
tg	0	√3/3	1	√3	—	0	—

Memotehnic sin: 0, ½, √2/2, √3/2, 1 — valorile cresc de la 0 la 90°.

Identități fundamentale

sin²α + cos²α = 1 — identitatea pitagoreică de bază

1 + tg²α = 1/cos²α — pentru cos α ≠ 0 (se obține din sin²α + cos²α = 1, împărțit la cos²α)

1 + ctg²α = 1/sin²α — pentru sin α ≠ 0 (împărțit la sin²α)

tg α · ctg α = 1

Semne pe cadrane

Cadran	sin	cos	tg
I (0°–90°)	+	+	+
II (90°–180°)	+	−	−
III (180°–270°)	−	−	+
IV (270°–360°)	−	+	−

Memotehnic: “Toate Sinusurile Trag Corect” (I: toate +, II: sin +, III: tg +, IV: cos +)

Reduceri la cadranul I

• sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α
• sin(π + α) = −sin α, cos(π + α) = −cos α
• sin(2π − α) = −sin α, cos(2π − α) = cos α
• sin(π/2 − α) = cos α, cos(π/2 − α) = sin α
• sin(π/2 + α) = cos α, cos(π/2 + α) = −sin α
• sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α

Formule de adunare

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)

tg(α − β) = (tg α − tg β) / (1 + tg α · tg β)

Formule pentru unghi dublu

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1

tg 2α = 2 tg α / (1 − tg²α)

Formule de înjumătățire

sin²α = ½(1 − cos 2α)

cos²α = ½(1 + cos 2α)

tg²α = (1 − cos 2α) / (1 + cos 2α)

Formule produs → sumă

sin α · cos β = [sin(α+β) + sin(α−β)] / 2

cos α · cos β = [cos(α−β) + cos(α+β)] / 2

sin α · sin β = [cos(α−β) − cos(α+β)] / 2

Formule sumă → produs

sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) · cos((α−β)/2)

sin α − sin β = 2 cos((α+β)/2) · sin((α−β)/2)

cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) · cos((α−β)/2)

cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) · sin((α−β)/2)

Ecuații trigonometrice fundamentale

sin x = a (|a| ≤ 1)

x = (−1)ᵏ · arcsin(a) + kπ, k ∈ ℤ

Sau, echivalent: x = arcsin(a) + 2kπ sau x = π − arcsin(a) + 2kπ

cos x = a (|a| ≤ 1)

x = ±arccos(a) + 2kπ, k ∈ Z

tg x = a

x = arctan(a) + kπ, k ∈ Z

Ecuații particulare frecvente

• sin x = 0 → x = kπ
• sin x = 1 → x = π/2 + 2kπ
• sin x = −1 → x = 3π/2 + 2kπ (sau −π/2 + 2kπ)
• cos x = 0 → x = π/2 + kπ
• cos x = 1 → x = 2kπ
• cos x = −1 → x = π + 2kπ
• tg x = 0 → x = kπ
• tg x = 1 → x = π/4 + kπ

Funcțiile trigonometrice — proprietăți

Funcție	Domeniu	Codomeniu	Perioadă	Paritate
sin x	R	[−1, 1]	2π	impară
cos x	R	[−1, 1]	2π	pară
tg x	R \ {π/2+kπ}	R	π	impară
ctg x	R \ {kπ}	R	π	impară

La examen

• Memorează tabelul de valori și semnele pe cadrane — apar la orice problemă
• Formulele de unghi dublu sunt cele mai folosite: sin 2α și cos 2α
• La ecuații, identifică întâi tipul (sin = a, cos = a, tg = a) și scrie soluția generală
• Verifică domeniul de definiție (tg/ctg au excluderi)
• Reducerile la cadranul I se aplică mereu când apar unghiuri > 90°