Combinatorică și probabilități

Principiul fundamental al numărării

Dacă o acțiune se poate realiza în m moduri, iar o altă acțiune în n moduri, atunci cele două acțiuni consecutive se pot realiza în m · n moduri.

Permutări

Numărul de moduri de aranjare a n elemente distincte:

Pₙ = n! = 1 · 2 · 3 · … · n

Convenție: 0! = 1

Aranjamente

Numărul de moduri de ales k elemente din n și de a le aranja (ordinea contează):

Aₙᵏ = n! / (n−k)! = n · (n−1) · … · (n−k+1)

Combinări

Numărul de moduri de ales k elemente din n (ordinea nu contează):

Cₙᵏ = n! / (k! · (n−k)!)

Proprietăți:

• Cₙ⁰ = Cₙⁿ = 1
• Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ (simetrie)
• Cₙᵏ + Cₙᵏ⁺¹ = Cₙ₊₁ᵏ⁺¹ (relația lui Pascal)
• Aₙᵏ = k! · Cₙᵏ

Triunghiul lui Pascal

       C(0,0)
      C(1,0) C(1,1)
    C(2,0) C(2,1) C(2,2)
  C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3)
         1  2  1
        1  3  3  1

Fiecare element = suma celor două de deasupra lui.

Binomul lui Newton

(a + b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ

Termenul general (termenul de rang k+1): Tₖ₊₁ = Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ

Cazuri speciale:

• (1 + x)ⁿ = Σ Cₙᵏ · xᵏ
• (a − b)ⁿ: termenii alternează semne

Probabilități

Probabilitate clasică

P(A) = |A| / |Ω| — număr de cazuri favorabile / total cazuri posibile (echiprobabile)

Proprietăți:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ω) = 1
• P(∅) = 0
• P(Ā) = 1 − P(A)

Operații cu evenimente

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Dacă A, B sunt incompatibile (A ∩ B = ∅): P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
• Dacă A, B sunt independente: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Probabilitate condiționată

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0

Formula probabilității totale

Dacă B₁, B₂, …, Bₙ formează o partiție a lui Ω:

P(A) = Σ P(A | Bᵢ) · P(Bᵢ)

Formula lui Bayes

P(Bᵢ | A) = P(A | Bᵢ) · P(Bᵢ) / P(A)

La examen — ce să știi

• Calculul Pₙ, Aₙᵏ, Cₙᵏ cu și fără formulă explicită
• Termenul general în binomul lui Newton — să identifici k astfel încât termenul are o anumită proprietate
• Probabilități cu aranjamente și combinări
• Probabilitate condiționată și independența evenimentelor