Geometria triunghiului

Elemente ale triunghiului

Într-un triunghi ABC notăm:

• a, b, c = lungimile laturilor opuse vârfurilor A, B, C
• A, B, C = măsurile unghiurilor în vârfurile respective (A + B + C = 180°)
• s = semiperimetrul: s = (a + b + c) / 2
• S = aria triunghiului
• R = raza cercului circumscris (circumraza)
• r = raza cercului înscris (inraza)

Teorema sinusurilor

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Această teoremă leagă laturile de sinusurile unghiurilor opuse și de circumraza R.

Aplicații:

• Dacă cunoști o latură și unghiul opus → calculezi 2R
• Dacă cunoști două unghiuri și o latură → calculezi celelalte laturi
• Din sin A = a / (2R): dacă A = 90°, atunci a = 2R (ipotenuza = diametrul circumscris)

Teorema cosinusurilor

a² = b² + c² − 2bc · cos A

b² = a² + c² − 2ac · cos B

c² = a² + b² − 2ab · cos C

Generalizează teorema lui Pitagora: dacă A = 90°, cos A = 0, obținem a² = b² + c².

Aplicații:

• Dacă cunoști două laturi și unghiul dintre ele → calculezi latura a treia
• Dacă cunoști toate trei laturi → calculezi unghiurile

Formula inversă pentru cos A:

cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)

Formule pentru aria triunghiului

Formula cu înălțimea:

S = ½ · a · hₐ (baza × înălțimea corespunzătoare, împărțit la 2)

Formula cu sinusul unghiului (ESENȚIALĂ la BAC):

S = ½ · b · c · sin A = ½ · a · c · sin B = ½ · a · b · sin C

Formula lui Heron (cu cele 3 laturi):

S = √(s · (s−a) · (s−b) · (s−c))

unde s = (a + b + c) / 2.

Formula cu circumraza:

S = abc / (4R)

Formula cu inraza:

S = r · s = r · (a + b + c) / 2

Circumraza (R)

R = a / (2 sin A) = b / (2 sin B) = c / (2 sin C)

R = abc / (4S)

Inraza (r)

r = S / s = 2S / (a + b + c)

r = (s−a) · tg(A/2) = (s−b) · tg(B/2) = (s−c) · tg(C/2)

Mediana

Mediana mₐ dusă din A spre mijlocul M al laturii BC:

mₐ² = (2b² + 2c² − a²) / 4

Formulă generală: mₐ = ½ · √(2b² + 2c² − a²)

Centrul de greutate G împarte fiecare mediană în raport 2:1 de la vârf.

Bisectoarea

Bisectoarea lₐ dusă din A la latura BC:

lₐ = (2bc · cos(A/2)) / (b + c)

Teorema bisectoarei: bisectoarea din A împarte BC în segmente proporționale cu laturile adiacente:

BD / DC = AB / AC = c / b

Înălțimea

Înălțimea hₐ dusă din A perpendicular pe BC:

hₐ = b · sin C = c · sin B

hₐ = 2S / a

Triunghi dreptunghic

Dacă C = 90°:

• c = ipotenuza, a și b = catetele
• c² = a² + b² (Pitagora)
• sin A = a/c, cos A = b/c, tg A = a/b
• c = 2R (ipotenuza = diametrul circumscris)
• r = (a + b − c) / 2
• S = ab / 2

Triunghi echilateral

Dacă a = b = c și A = B = C = 60°:

• S = a²√3 / 4
• R = a√3 / 3 (sau a/√3)
• r = a√3 / 6 (sau a/(2√3))
• h = a√3 / 2 (înălțimea = și mediană și bisectoare)

La examen

• Teorema sinusurilor → când ai un unghi și latura opusă
• Teorema cosinusurilor → când ai 2 laturi și unghiul dintre ele, sau toate 3 laturi
• Aria cu sinus ½bc·sin A — cea mai folosită formulă de arie la BAC
• R = a/(2sinA) și r = S/s apar frecvent în probleme combinate
• Verifică suma unghiurilor: A + B + C = 180° — dacă găsești 2, al treilea se deduce
• Formula lui Heron = ultima opțiune (calcule mai grele), preferă varianta cu sin