Șiruri de numere reale

Progresii aritmetice

Șir în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă: aₙ₊₁ − aₙ = r (rația).

Termenul general: aₙ = a₁ + (n−1) · r

Suma primilor n termeni: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2 = n · a₁ + n(n−1)/2 · r

Proprietate de mijloc: 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁

Progresii geometrice

Șir în care raportul dintre doi termeni consecutivi este constant: aₙ₊₁ / aₙ = q (rația), q ≠ 0.

Termenul general: aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Suma primilor n termeni:

• Dacă q ≠ 1: Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1)
• Dacă q = 1: Sₙ = n · a₁

Proprietate de mijloc: aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁

Suma seriei geometrice infinite (|q| < 1): S = a₁ / (1 − q)

Monotonia șirurilor

• Crescător: aₙ₊₁ ≥ aₙ pentru toți n
• Strict crescător: aₙ₊₁ > aₙ
• Descrescător: aₙ₊₁ ≤ aₙ
• Strict descrescător: aₙ₊₁ < aₙ

Metodă de verificare: calculezi aₙ₊₁ − aₙ (sau aₙ₊₁ / aₙ) și studiezi semnul.

Mărginirea șirurilor

• Mărginit superior: ∃ M ∈ ℝ: aₙ ≤ M, ∀n
• Mărginit inferior: ∃ m ∈ ℝ: aₙ ≥ m, ∀n
• Mărginit: mărginit superior și inferior

Limite de șiruri

lim aₙ = L (sau ∞) înseamnă că termenii se apropie arbitrar de L.

Operații cu limite:

• lim(aₙ ± bₙ) = lim aₙ ± lim bₙ
• lim(aₙ · bₙ) = lim aₙ · lim bₙ
• lim(aₙ / bₙ) = lim aₙ / lim bₙ (dacă lim bₙ ≠ 0)

Limite standard (de memorat)

• lim (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2.718…
• lim (1 + a/n)ⁿ = eᵃ
• lim n^(1/n) = 1
• lim qⁿ = 0, dacă |q| < 1

Forme nedeterminate

∞ − ∞, ∞/∞, 0/0, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰

Tehnici de rezolvare:

• Factorizare prin termenul dominant
• Înmulțire cu conjugata
• Aplicarea limitei (1 + 1/n)ⁿ = e

Exemplu: lim (n² + 3n) / (2n² − 1) = lim n²(1 + 3/n) / n²(2 − 1/n²) = 1/2

Teorema cleștelui (squezing)

Dacă aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ și lim aₙ = lim cₙ = L, atunci lim bₙ = L.

Criteriul raportului (pentru monotonie + convergență)

Dacă aₙ > 0 și lim (aₙ₊₁/aₙ) = L:

• L < 1 → lim aₙ = 0
• L > 1 → lim aₙ = ∞

Șirul lui Fibonacci

a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ

Primii termeni: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

lim aₙ₊₁/aₙ = φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618 (numărul de aur)

La examen — ce să știi

• Termenul general și suma în progresii aritmetice și geometrice
• Calculul limitelor cu forme nedeterminate (factorizare prin termenul dominant)
• Verificarea monotoniei unui șir prin aₙ₊₁ − aₙ
• Limita (1 + 1/n)ⁿ = e și variante ale ei