Mulțimi și funcții

Operații cu mulțimi

Fie A și B mulțimi. Se definesc:

• Reuniunea: A ∪ B = { x | x ∈ A sau x ∈ B }
• Intersecția: A ∩ B = { x | x ∈ A și x ∈ B }
• Diferența: A \ B = { x | x ∈ A și x ∉ B }
• Complementara lui A față de U: Cᵤ(A) = U \ A

Legile lui De Morgan:

• Cᵤ(A ∪ B) = Cᵤ(A) ∩ Cᵤ(B)
• Cᵤ(A ∩ B) = Cᵤ(A) ∪ Cᵤ(B)

Cardinalul reuniunii: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Produs cartezian

A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B }

|A × B| = |A| · |B|

Funcții

O funcție f : A → B asociază fiecărui element x ∈ A un unic element f(x) ∈ B.

Tipuri de funcții

Injectivă (1 la 1): ∀ x₁, x₂ ∈ A, f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂

Surjectivă (pe): ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A astfel încât f(x) = y

Bijectivă: injectivă și surjectivă simultan.

Funcția inversă

Dacă f : A → B este bijectivă, atunci există f⁻¹ : B → A cu proprietatea: f⁻¹(y) = x ⟺ f(x) = y

Proprietate: f⁻¹ ∘ f = IdA și f ∘ f⁻¹ = IdB

Compoziția funcțiilor

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

Compoziția nu este comutativă în general: g ∘ f ≠ f ∘ g

Funcții elementare importante

Funcție	Domeniu	Codomeniu	Monotonie
f(x) = xⁿ (n par)	ℝ	[0, ∞)	descrescătoare pe (-∞,0], crescătoare pe [0,∞)
f(x) = xⁿ (n impar)	ℝ	ℝ	strict crescătoare
f(x) = √x	[0, ∞)	[0, ∞)	strict crescătoare
f(x) = aˣ, a > 1	ℝ	(0, ∞)	strict crescătoare
f(x) = logₐx, a > 1	(0, ∞)	ℝ	strict crescătoare

La examen — ce să știi

• Să verifici dacă o funcție dată este injectivă / surjectivă
• Să determini inversa unei funcții bijectivă
• Să calculezi compoziții de funcții
• Să rezolvi ecuații de forma f(x) = f(y) → verifici injectivitatea