Matrice și determinanți

Matrice — noțiuni de bază

O matrice de tip m × n este un tablou dreptunghiular cu m linii și n coloane, cu elementul generic aᵢⱼ (linia i, coloana j).

• Matrice pătrată: m = n
• Matricea nulă O: toate elementele sunt 0
• Matricea unitate Iₙ: aᵢᵢ = 1, aᵢⱼ = 0 pentru i ≠ j (diagonala principală = 1, rest = 0)
• Matricea diagonală: elementele din afara diagonalei principale sunt 0
• Matricea triunghiulară superioară: aᵢⱼ = 0 pentru i > j
• Matricea triunghiulară inferioară: aᵢⱼ = 0 pentru i < j

Operații cu matrice

Adunarea matricelor

Două matrice A și B de același tip m × n se adună element cu element:

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

Proprietăți: comutativă, asociativă, elementul neutru este O.

Înmulțirea cu un scalar

(k · A)ᵢⱼ = k · aᵢⱼ

Înmulțirea matricelor

Produsul A · B este definit dacă numărul de coloane al lui A = numărul de linii al lui B.

Dacă A este m × p și B este p × n, atunci C = A · B este m × n, unde:

cᵢⱼ = aᵢ₁ · b₁ⱼ + aᵢ₂ · b₂ⱼ + ··· + aᵢₚ · bₚⱼ

Atenție! Înmulțirea matricelor nu este comutativă: în general A · B ≠ B · A.

Proprietăți: asociativă, distributivă față de adunare, A · I = I · A = A.

Transpusa unei matrice

Transpusa lui A de tip m × n este matricea Aᵀ de tip n × m, cu (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ.

(Se obține prin “oglindire” față de diagonala principală — liniile devin coloane.)

Determinanți

Determinantul de ordinul 2

Pentru matricea:

A = | a  b |
    | c  d |

det(A) = a · d − b · c

Determinantul de ordinul 3 — Regula lui Sarrus

A = | a₁  b₁  c₁ |
    | a₂  b₂  c₂ |
    | a₃  b₃  c₃ |

det(A) = a₁b₂c₃ + b₁c₂a₃ + c₁a₂b₃ − c₁b₂a₃ − a₁c₂b₃ − b₁a₂c₃

Memotehnic (Regula Sarrus): repetă primele 2 coloane la dreapta, înmulțește diagonalele (↘) cu + și (↗) cu −.

Proprietăți ale determinanților

1. det(Aᵀ) = det(A) — transpusa nu schimbă determinantul
2. Dacă două linii (sau coloane) sunt identice → det = 0
3. Dacă o linie (sau coloană) conține numai zerouri → det = 0
4. Schimbând două linii (sau coloane) → determinantul își schimbă semnul
5. Înmulțind o linie cu un scalar k → determinantul se înmulțește cu k
6. det(A · B) = det(A) · det(B)
7. det(k · A) = kⁿ · det(A) pentru A de ordinul n

Minori și cofactori

Minorul Mᵢⱼ al elementului aᵢⱼ este determinantul matricei obținute prin eliminarea liniei i și coloanei j.

Cofactorul Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ · Mᵢⱼ

Dezvoltarea după linia i: det(A) = Σⱼ aᵢⱼ · Aᵢⱼ

Matricea inversabilă

O matrice pătrată A este inversabilă dacă există B cu A · B = B · A = I.

Condiție: A este inversabilă ⟺ det(A) ≠ 0

Formula pentru inversa de ordinul 2

Dacă A = [[a, b], [c, d]] și det(A) = ad − bc ≠ 0:

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$$

Pe scurt: A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]]

Formula generală (adjuncta)

A⁻¹ = (1/det(A)) · adj(A)

unde adj(A) este matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor).

Ecuații matriceale

A · X = B → X = A⁻¹ · B (dacă det(A) ≠ 0)

X · A = B → X = B · A⁻¹ (dacă det(A) ≠ 0)

Atenție! Ordinea înmulțirii contează — nu poți simplifica la fel ca la numere reale.

La examen

• Calculul determinantului de ordinul 2 și 3 apare în aproape fiecare subiect
• Verifică dacă det(A) = 0 înainte de a calcula inversa
• La ecuații matriceale: identifică forma (A·X=B sau X·A=B) și înmulțești din stânga sau dreapta cu A⁻¹
• Proprietatea det(A·B) = det(A)·det(B) simplifică multe calcule
• Dacă det(A) = 0, sistemul asociat este incompatibil sau nedeterminat