Numere complexe

Forma algebrică

Un număr complex are forma z = a + bi, unde a, b ∈ ℝ și i² = −1.

• Partea reală: Re(z) = a
• Partea imaginară: Im(z) = b
• Conjugatul: z̄ = a − bi
• Modulul: |z| = √(a² + b²)

Proprietăți ale conjugatului:

• z · z̄ = |z|²
• z + z̄ = 2 · Re(z)
• z − z̄ = 2i · Im(z)

Operații în formă algebrică

Fie z₁ = a + bi și z₂ = c + di.

Adunare: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Scădere: z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

Înmulțire: z₁ · z₂ = (ac − bd) + (ad + bc)i

Împărțire: z₁ / z₂ = (z₁ · z̄₂) / |z₂|² = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

Forma trigonometrică (polară)

z = r(cos θ + i sin θ)

unde:

• r = |z| = √(a² + b²)
• θ = arg(z) — argumentul lui z (unghi față de axa reală)
• cos θ = a/r, sin θ = b/r

Notație Euler (de știut): z = r·eⁱᶿ

Formula lui Moivre

zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)

Aplicare directă la examen: Dacă z = cos θ + i sin θ (cu r = 1), atunci zⁿ = cos nθ + i sin nθ.

Rădăcini de ordin n

Rădăcinile de ordin n ale lui z = r(cos θ + i sin θ) sunt:

zₖ = ⁿ√r · (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)), k = 0, 1, …, n−1

Rădăcinile de ordin n ale unității (z = 1, r = 1, θ = 0):

εₖ = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n), k = 0, 1, …, n−1

Formează un poligon regulat cu n laturi înscris în cercul unitate.

Forma algebrică ↔ trigonometrică

Punct	r	θ
z = 1 + i	√2	π/4
z = 1 − i	√2	−π/4
z = −1 + i	√2	3π/4
z = i	1	π/2
z = −i	1	−π/2

La examen — ce să știi

• Calcule cu numere complexe în formă algebrică (inclusiv împărțire)
• Calculul modulului și conjugatului
• Trecerea formă algebrică ↔ trigonometrică
• Aplicarea formulei lui Moivre pentru puteri
• Calculul rădăcinilor de ordin n ale unui număr complex