📐
Formule — Matematică
Proba E.c) | Matematică-Informatică
Toate formulele esențiale
Formularul complet pentru BAC — toate formulele organizate pe teme. Printează-l pentru studiu!
Algebră — Numere complexe
Modul |z| = √(a² + b²)
Conjugat z̄ = a − bi
z · z̄ z · z̄ = |z|²
Formula lui Moivre zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
Rădăcini de ordin n zₖ = ⁿ√r · (cos((θ+2kπ)/n) + i sin((θ+2kπ)/n))
Algebră — Proprietăți ale funcțiilor reale
Funcție pară f(−x) = f(x) — grafic simetric față de Oy
Funcție impară f(−x) = −f(x) — grafic simetric față de O
Funcție periodică f(x+T) = f(x) — T perioadă
Perioadele sin/cos T(sin kx) = T(cos kx) = 2π/k
Perioadele tg/ctg T(tg kx) = T(ctg kx) = π/k
Strict crescătoare (criteriu f') f'(x) > 0 pe (a,b) ⟹ f ↗ pe (a,b)
Strict descrescătoare (criteriu f') f'(x) < 0 pe (a,b) ⟹ f ↘ pe (a,b)
Mărginire ∃m,M: m ≤ f(x) ≤ M ⟹ f mărginită
Algebră — Relațiile lui Viète (grad 3)
Suma rădăcinilor x₁+x₂+x₃ = −b/a
Suma produselor 2 câte 2 x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃ = c/a
Produsul rădăcinilor x₁·x₂·x₃ = −d/a
Ecuație grad 3 ax³ + bx² + cx + d = 0
Geometria triunghiului
Teorema sinusurilor a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Teorema cosinusurilor a² = b² + c² − 2bc·cos A
cos A (din laturi) cos A = (b²+c²−a²) / (2bc)
Arie cu sin S = ½·b·c·sin A = ½·a·c·sin B = ½·a·b·sin C
Formula lui Heron S = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s=(a+b+c)/2
Arie cu circumraza S = abc / (4R)
Arie cu inraza S = r · s
Circumraza R R = a/(2·sin A) = abc/(4S)
Inraza r r = S/s = 2S/(a+b+c)
Mediana mₐ mₐ = ½·√(2b²+2c²−a²)
Înălțimea hₐ hₐ = b·sin C = c·sin B = 2S/a
Triunghi echilateral — arie S = a²√3/4
Triunghi dreptunghic c = 2R (ipotenuza = diametru)
Inraza triunghi dreptunghic r = (a+b−c)/2
Algebră — Combinatorică
Permutări Pₙ = n!
Aranjamente Aₙᵏ = n! / (n−k)!
Combinări Cₙᵏ = n! / (k! · (n−k)!)
Relația lui Pascal Cₙᵏ + Cₙᵏ⁺¹ = Cₙ₊₁ᵏ⁺¹
Binomul lui Newton (a+b)ⁿ = Σₖ₌₀ⁿ Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Termenul general Tₖ₊₁ = Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
Algebră — Relațiile lui Viète (grad 2)
Suma rădăcinilor x₁ + x₂ = −b/a
Produsul rădăcinilor x₁ · x₂ = c/a
Discriminant Δ = b² − 4ac
Rădăcinile x₁,₂ = (−b ± √Δ) / 2a
Algebră — Matrice și determinanți
det ordinul 2 |a b; c d| = ad − bc
det ordinul 3 (Sarrus) a₁b₂c₃ + b₁c₂a₃ + c₁a₂b₃ − c₁b₂a₃ − a₁c₂b₃ − b₁a₂c₃
det(Aᵀ) det(Aᵀ) = det(A)
det(A·B) det(A·B) = det(A) · det(B)
det(kA) ordinul n det(kA) = kⁿ · det(A)
Inversa 2×2 A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]]
Ecuație matriceală AX=B X = A⁻¹ · B (dacă det(A) ≠ 0)
Cofactor Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ · Mᵢⱼ
Algebră — Sisteme liniare (Cramer)
Soluție Cramer xₖ = det(Aₖ) / det(A), det(A) ≠ 0
Compatibil rang(A) = rang(A|B)
Soluție unică rang(A) = rang(A|B) = n
Infinit soluții rang(A) = rang(A|B) < n
Incompatibil rang(A) ≠ rang(A|B)
Algebră — Funcții exponențiale și logaritmice
Produs → sumă logₐ(x·y) = logₐx + logₐy
Cât → diferență logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
Putere → factor logₐ(xⁿ) = n · logₐx
Schimbare bază logₐb = ln b / ln a = logᵦ b / logᵦ a
Identitate a^(logₐx) = x, logₐ(aˣ) = x
aˢ > aᵗ, a>1 s > t (sens păstrat)
aˢ > aᵗ, 0<a<1 s < t (sens inversat!)
logₐs > logₐt, a>1 s > t (sens păstrat)
logₐs > logₐt, 0<a<1 s < t (sens inversat!)
Trigonometrie — Identități și formule
Identitate pitagoreică sin²α + cos²α = 1
1 + tg²α 1/cos²α
sin(α ± β) sinα cosβ ± cosα sinβ
cos(α ± β) cosα cosβ ∓ sinα sinβ
sin 2α 2 sinα cosα
cos 2α cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1
tg 2α 2 tgα / (1 − tg²α)
sin²α ½(1 − cos 2α)
cos²α ½(1 + cos 2α)
Trigonometrie — Valori și ecuații
sin 30° = sin π/6 ½
sin 45° = sin π/4 √2/2
sin 60° = sin π/3 √3/2
cos 30° = cos π/6 √3/2
cos 45° = cos π/4 √2/2
cos 60° = cos π/3 ½
sin x = a (|a|≤1) x = (−1)ᵏ arcsin a + kπ, k ∈ ℤ
cos x = a (|a|≤1) x = ±arccos a + 2kπ, k ∈ ℤ
tg x = a x = arctg a + kπ, k ∈ ℤ
Analiză — Progresii
Termen prog. aritmetic aₙ = a₁ + (n−1)r
Suma prog. aritmetic Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Termen prog. geometric aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
Suma prog. geometric Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1)
Serie geometrică (|q|<1) S = a₁/(1−q)
Analiză — Limite standard
Limita fundamentală lim (1 + 1/n)ⁿ = e (n→∞)
sin x / x lim sin x / x = 1 (x→0)
(eˣ−1) / x lim (eˣ−1)/x = 1 (x→0)
ln(1+x) / x lim ln(1+x)/x = 1 (x→0)
(1+x)^(1/x) lim (1+x)^(1/x) = e (x→0)
Analiză — Derivate (funcții elementare)
xⁿ (xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹
eˣ (eˣ)' = eˣ
aˣ (aˣ)' = aˣ · ln a
ln x (ln x)' = 1/x
sin x (sin x)' = cos x
cos x (cos x)' = −sin x
tg x (tg x)' = 1/cos²x
arcsin x (arcsin x)' = 1/√(1−x²)
arctg x (arctg x)' = 1/(1+x²)
Analiză — Reguli de derivare
Suma (f ± g)' = f' ± g'
Produsul (f·g)' = f'g + fg'
Câtul (f/g)' = (f'g − fg') / g²
Funcție compusă (g∘f)'(x) = g'(f(x)) · f'(x)
Analiză — Integrale (primitive elementare)
xⁿ (n≠−1) ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
1/x ∫ 1/x dx = ln|x| + C
eˣ ∫ eˣ dx = eˣ + C
sin x ∫ sin x dx = −cos x + C
cos x ∫ cos x dx = sin x + C
1/cos²x ∫ 1/cos²x dx = tg x + C
1/√(1−x²) ∫ 1/√(1−x²) dx = arcsin x + C
1/(1+x²) ∫ 1/(1+x²) dx = arctg x + C
Analiză — Integrare și aplicații
Leibniz-Newton ∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a)
Integrare prin părți ∫ u dv = u·v − ∫ v du
Arie sub grafic A = ∫[a,b] f(x) dx (f ≥ 0)
Arie între curbe A = ∫[a,b] |f(x)−g(x)| dx
Volum de rotație (Ox) V = π · ∫[a,b] [f(x)]² dx
Geometrie — Vectori
Modul vector |v| = √(a₁²+a₂²+a₃²)
Produs scalar a·b = a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ = |a||b|cos θ
Perpendicularitate a ⊥ b ⟺ a·b = 0
Arie triunghi A = ½ · |AB × AC|
Produs mixt (a, b, c) = a · (b × c)
Volum paralelipiped V = |(a, b, c)|
Geometrie — Drepte și plane (spațiu)
Dist. punct → plan d = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)
Unghi dreaptă-plan sin φ = |v · n| / (|v| · |n|)
Unghi plan-plan cos θ = |n₁ · n₂| / (|n₁| · |n₂|)
Plan perpendicular π₁ ⊥ π₂ ⟺ n₁ · n₂ = 0
Geometrie analitică în plan
Distanța AB |AB| = √[(xB−xA)² + (yB−yA)²]
Mijlocul AB M = ((xA+xB)/2, (yA+yB)/2)
Panta dreptei m = (yB−yA) / (xB−xA)
Ecuație dreaptă y − y₀ = m(x − x₀) sau y = mx + n
Drepte paralele m₁ = m₂
Drepte perpendiculare m₁ · m₂ = −1
Dist. punct → dreaptă d = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²)
Aria triunghi A = ½|xA(yB−yC) + xB(yC−yA) + xC(yA−yB)|
Ecuația cercului (x−a)² + (y−b)² = r²
Raza din formă generală r = √(D²/4 + E²/4 − F)
Centru de greutate G = ((xA+xB+xC)/3, (yA+yB+yC)/3)
Geometrie — Corpuri
Sferă — arie A = 4πR²
Sferă — volum V = (4/3)πR³
Con — arie laterală Aₗ = πRg, g = √(R²+h²)
Con — volum V = ⅓πR²h
Cilindru — arie lat. Aₗ = 2πRh
Cilindru — volum V = πR²h
Piramidă — volum V = ⅓ · Abaza · h