Proprietăți ale funcțiilor reale

Funcții monotone

O funcție f: D → ℝ este strict crescătoare pe un interval I ⊆ D dacă:

x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂) pentru orice x₁, x₂ ∈ I

O funcție f este strict descrescătoare pe I dacă:

x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂) pentru orice x₁, x₂ ∈ I

Monotonie și derivată (pentru f derivabilă):

• f’(x) > 0 pe (a, b) ⟹ f strict crescătoare pe (a, b)
• f’(x) < 0 pe (a, b) ⟹ f strict descrescătoare pe (a, b)
• f’(x) = 0 pe (a, b) ⟹ f constantă pe (a, b)

Exemple:

• f(x) = x² — descrescătoare pe (−∞, 0), crescătoare pe (0, +∞)
• f(x) = eˣ — strict crescătoare pe ℝ
• f(x) = ln x — strict crescătoare pe (0, +∞)
• f(x) = aˣ cu a > 1 — crescătoare; cu 0 < a < 1 — descrescătoare

---

Funcții pare și impare

Funcție pară

f este pară dacă, pentru orice x ∈ D (cu D simetric față de origine):

f(−x) = f(x)

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

Exemple: f(x) = x², f(x) = cos x, f(x) = |x|, f(x) = x⁴ − 3x²

Funcție impară

f este impară dacă, pentru orice x ∈ D:

f(−x) = −f(x)

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (O).

Exemple: f(x) = x, f(x) = x³, f(x) = sin x, f(x) = tg x

Cum verifici paritatea / imparitatea

1. Calculează f(−x)
2. Dacă f(−x) = f(x) → funcție pară
3. Dacă f(−x) = −f(x) → funcție impară
4. Altfel → funcție nici pară, nici impară

Observație: f(x) = 0 este singura funcție care este simultan pară și impară.

---

Funcții periodice

f este periodică de perioadă T > 0 dacă:

f(x + T) = f(x) pentru orice x ∈ D

Perioada minimă (sau fundamentală) este cel mai mic T > 0 cu această proprietate.

Funcție	Perioadă
sin x	2π
cos x	2π
tg x	π
ctg x	π
sin(kx)	2π/k
cos(kx)	2π/k

Proprietăți:

• Dacă f are perioada T, atunci și f(x+T), f(x)±c, c·f(x) au perioada T
• Suma a două funcții periodice de perioade T₁ și T₂ este periodică dacă T₁/T₂ ∈ ℚ

---

Funcții mărginite

f este mărginită superior pe D dacă există M ∈ ℝ cu f(x) ≤ M pentru orice x ∈ D.

f este mărginită inferior pe D dacă există m ∈ ℝ cu f(x) ≥ m pentru orice x ∈ D.

f este mărginită dacă este mărginită atât superior, cât și inferior (există m, M cu m ≤ f(x) ≤ M).

Exemple:

• f(x) = sin x — mărginită: −1 ≤ sin x ≤ 1
• f(x) = eˣ — mărginită inferior (eˣ > 0), nemărginită superior
• f(x) = x² — mărginită inferior (x² ≥ 0), nemărginită superior
• f(x) = x — nemărginită (nici superior, nici inferior)

---

Extremele funcțiilor

Extreme locale

• Maxim local în x₀: f(x₀) ≥ f(x) pentru orice x dintr-o vecinătate a lui x₀
• Minim local în x₀: f(x₀) ≤ f(x) pentru orice x dintr-o vecinătate a lui x₀

Condiție necesară (Fermat): Dacă f derivabilă are extrem local în x₀, atunci f’(x₀) = 0.

Condiție suficientă:

• f’(x₀) = 0 și f’ schimbă semnul din + în − → maxim local
• f’(x₀) = 0 și f’ schimbă semnul din − în + → minim local
• f’(x₀) = 0 și f”(x₀) < 0 → maxim local
• f’(x₀) = 0 și f”(x₀) > 0 → minim local

Extreme globale pe [a, b]

Extremele absolute se caută la:

1. Punctele critice interioare unde f’(x) = 0
2. Capetele intervalului: x = a și x = b

---

Funcții injectivă, surjectivă, bijectivă — recapitulare

Proprietate	Definiție	Echivalent grafic
Injectivă	f(x₁) = f(x₂) ⟹ x₁ = x₂	Orice orizontală taie graficul în cel mult un punct
Surjectivă	Im(f) = B	Orice orizontală taie graficul în cel puțin un punct
Bijectivă	Injectivă + surjectivă	Orice orizontală taie graficul în exact un punct

O funcție strict monotonă pe un interval este injectivă pe acel interval.