Ecuații

Ecuații de gradul I

ax + b = 0, a ≠ 0 → x = −b/a

Dacă a = 0 și b = 0 → infinit de soluții (orice x). Dacă a = 0 și b ≠ 0 → fără soluții.

Ecuații de gradul II

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Discriminantul: Δ = b² − 4ac

Δ	Soluții
Δ > 0	două soluții reale distincte: x₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)
Δ = 0	o soluție dublă: x₁ = x₂ = −b / (2a)
Δ < 0	nicio soluție reală (două soluții complexe conjugate)

Relațiile lui Viète

Dacă x₁, x₂ sunt rădăcinile ecuației ax² + bx + c = 0:

x₁ + x₂ = −b/a

x₁ · x₂ = c/a

Utilitate: dacă știi suma și produsul rădăcinilor, poți scrie ecuația fără să le calculezi explicit.

Descompunerea în factori

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Completarea la pătrat

ax² + bx + c = a(x + b/2a)² − (b² − 4ac)/(4a)

Util pentru a scrie forma canonică și a identifica minimul/maximul funcției pătrat.

Ecuații iraționale

Conțin necunoscuta sub radical. Condiția esențială: argumentul radicalului ≥ 0 (pentru radical de ordin par).

Tip √f(x) = g(x)

Condiții: f(x) ≥ 0 și g(x) ≥ 0

Rezolvare: ridică la pătrat → f(x) = [g(x)]²

Verifică soluțiile în ecuația inițială — ridicarea la pătrat poate introduce soluții false!

Exemplu: √(x + 3) = x − 1

Condiții: x + 3 ≥ 0 și x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1

Ridicat la pătrat: x + 3 = (x−1)² = x² − 2x + 1 → x² − 3x − 2 = 0… rezolvi și verifici.

Tip √f(x) = √g(x)

⟺ f(x) = g(x) și f(x) ≥ 0 (sau g(x) ≥ 0)

Tip √f(x) + √g(x) = h(x)

Izolezi un radical, ridici la pătrat, izolezi celălalt radical, ridici din nou la pătrat.

Tip cu radical de ordin 3

∛f(x) = g(x) ⟺ f(x) = [g(x)]³ (fără restricții de semn — radicalul de ordin 3 e definit pe ℝ)

Ecuații biquadratice

ax⁴ + bx² + c = 0

Substituție: t = x², t ≥ 0

Se obține: at² + bt + c = 0 — ecuație de grad II în t.

Pentru fiecare soluție t ≥ 0 a ecuației în t, se obțin x = ±√t.

Exemplu: x⁴ − 5x² + 4 = 0

t² − 5t + 4 = 0 → t₁ = 1, t₂ = 4

t₁ = 1 → x = ±1 / t₂ = 4 → x = ±2

Soluții: {−2, −1, 1, 2}

Ecuații cu modul

|f(x)| = a (a ≥ 0)

⟺ f(x) = a sau f(x) = −a

Dacă a < 0 → fără soluții.

|f(x)| = g(x)

Condiție: g(x) ≥ 0

⟺ f(x) = g(x) sau f(x) = −g(x) (cu condiția g(x) ≥ 0)

|f(x)| = |g(x)|

⟺ f(x) = g(x) sau f(x) = −g(x)

Discuție de caz

Alternativă: se determină intervalele în care f(x) ≥ 0 și f(x) < 0, se elimină modulul pe fiecare interval.

Exemplu: |x² − 4| = x + 2

• Caz 1: x² − 4 ≥ 0 (x ≤ −2 sau x ≥ 2) → x² − 4 = x + 2 → x² − x − 6 = 0 → x = 3 sau x = −2 ✓
• Caz 2: x² − 4 < 0 (−2 < x < 2) → −(x² − 4) = x + 2 → −x² + 4 = x + 2 → x² + x − 2 = 0 → x = 1 ✓ sau x = −2 (nu e în interval)

Soluții: {−2, 1, 3}

Ecuații simetrice

Ecuații de forma ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0 (coeficienți simetrici).

Împarte prin x²: a(x² + 1/x²) + b(x + 1/x) + c = 0

Substituție: t = x + 1/x, atunci x² + 1/x² = t² − 2

Se obține ecuație de grad II în t.

La examen

• La ecuații iraționale: scrie condițiile de existență înainte de a ridica la pătrat, și verifică soluțiile la final
• La ecuații biquadratice: substituția t = x², nu uita că t ≥ 0
• La ecuații cu modul: |f| = |g| ⟺ f = g sau f = −g (cel mai rapid)
• Relațiile lui Viète permit verificarea rapidă fără să calculezi rădăcinile
• Descompunerea în factori simplifică ecuațiile de grad > 2 (caută rădăcini evidente ±1, ±2, …)