Vectori și geometrie analitică

Vectori în plan (ℝ²) și spațiu (ℝ³)

Vectorul AB are componente: AB = (B_x − A_x, B_y − A_y) în plan, sau (B_x − A_x, B_y − A_y, B_z − A_z) în spațiu.

Modulul: |AB| = √((B_x−A_x)² + (B_y−A_y)² + (B_z−A_z)²)

Operații cu vectori

Fie a = (a₁, a₂, a₃) și b = (b₁, b₂, b₃):

Adunare: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)

Scădere: a − b = (a₁−b₁, a₂−b₂, a₃−b₃)

Înmulțire cu scalar: k · a = (k·a₁, k·a₂, k·a₃)

Vectorul nul: 0 = (0, 0, 0)

Vector unitar (versor): |a| = 1. Versorul lui a: â = a / |a|

Produs scalar

a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Sau: a · b = |a| · |b| · cos θ, unde θ = unghiul dintre vectori.

Proprietăți:

• a · a = |a|²
• a · b = 0 ⟺ a ⊥ b (dacă a, b ≠ 0)
• Comutativitate: a · b = b · a

Cosinus: cos θ = (a · b) / (|a| · |b|)

Proiecție: proj_b(a) = (a · b) / |b|

Produs vectorial (ℝ³)

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

Memotechnică — determinant formal:

        | i   j   k  |
a × b = | a₁  a₂  a₃ |
        | b₁  b₂  b₃ |

Proprietăți:

• a × b ⊥ a și a × b ⊥ b
• |a × b| = |a| · |b| · sin θ
• a × b = 0 ⟺ a ∥ b (sau unul este 0)
• Anticomutativitate: a × b = −(b × a)

Aria paralelogramului cu laturile a și b: A = |a × b|

Aria triunghiului ABC: A = ½ · |AB × AC|

Produs mixt

(a, b, c) = a · (b × c)

Calculat ca determinant 3×3 cu rândurile a, b, c.

Volumul paralelipipedului cu laturile a, b, c: V = |(a, b, c)|

Vectorii a, b, c sunt coplanari ⟺ (a, b, c) = 0.

Coliniaritate, coplanaritate

A, B, C coliniare ⟺ AB = t · AC pentru un t ∈ ℝ, adică AB ∥ AC.

A, B, C, D coplanare ⟺ (AB, AC, AD) = 0.

Ecuația dreptei în plan

Forma vectorială: P = P₀ + t · d, t ∈ ℝ (d — vector director)

Forma carteziană: ax + by + c = 0

Forma explicită: y = mx + n

Panta: m = tg α = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Drepte paralele: m₁ = m₂ (sau ambele verticale)

Drepte perpendiculare: m₁ · m₂ = −1

Distanțe în plan

Distanța de la punctul P(x₀, y₀) la dreapta ax + by + c = 0:

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Distanța dintre două puncte: d(A, B) = |AB|

La examen — ce să știi

• Calculul produsului scalar și determinarea unghiului
• Produsul vectorial și aplicațiile geometrice (arie, perpendicularitate)
• Distanța de la un punct la o dreaptă
• Coliniaritate și coplanaritate prin condiții vectoriale