Studiul funcțiilor

Schema generală de studiu

1. Domeniu de definiție (D)
2. Semn, paritate (pară / impară)
3. Limite la capetele domeniului și asimptote
4. Derivata f’, monotonie, extreme locale
5. Derivata a doua f”, convexitate, puncte de inflexiune
6. Tabel de variație
7. Reprezentare grafică

Monotonie (din f’)

• f’(x) > 0 pe (a, b) ⟹ f strict crescătoare pe [a, b]
• f’(x) < 0 pe (a, b) ⟹ f strict descrescătoare pe [a, b]
• f’(x) = 0 pe (a, b) ⟹ f constantă pe [a, b]

Puncte critice și extreme locale

Punct critic: x₀ cu f’(x₀) = 0 sau f’(x₀) nedefinit.

Criteriul I (schimbarea semnului lui f’)

Fie x₀ punct critic:

• f’ schimbă semnul + → − ⟹ x₀ este maxim local
• f’ schimbă semnul − → + ⟹ x₀ este minim local
• f’ nu schimbă semnul ⟹ nu este extrem

Criteriul II (derivata a doua)

Fie f’(x₀) = 0:

• f”(x₀) < 0 ⟹ maxim local
• f”(x₀) > 0 ⟹ minim local
• f”(x₀) = 0 ⟹ criteriul nu decide (se revine la criteriul I)

Convexitate și concavitate (din f”)

• f”(x) > 0 pe (a, b) ⟹ f convexă (curbă cu fața în sus ∪)
• f”(x) < 0 pe (a, b) ⟹ f concavă (curbă cu fața în jos ∩)

Memotechnică: f” > 0 → smiley (∪), f” < 0 → trist (∩)

Puncte de inflexiune

x₀ este punct de inflexiune dacă f” schimbă semnul în x₀.

Condiție necesară (nu suficientă): f”(x₀) = 0.

Verificare: se verifică că f” schimbă semnul (nu doar că se anulează).

Extreme globale pe un interval

Pe un interval închis [a, b], extremele globale se găsesc comparând:

• valorile f la punctele critice din (a, b)
• valorile f(a) și f(b) (capetele intervalului)

Asimptote (din limite)

Asimptotă verticală x = a

f(x) → ±∞ când x → a⁺ sau x → a⁻

Se caută la punctele unde f nu este definită.

Asimptotă orizontală y = L

lim f(x) = L (x → +∞ sau x → −∞)

Asimptotă oblică y = mx + n (x → ±∞)

m = lim f(x)/x, n = lim [f(x) − mx]

Tabel de variație — model

x	-∞	…	x₁	…	x₂	…	+∞
f’(x)		−	0	+	0	−
f(x)	↘		min	↗	max	↘

Paritate

• Pară: f(−x) = f(x) — grafic simetric față de Oy
• Impară: f(−x) = −f(x) — grafic simetric față de origine

Proprietate utilă: pentru funcții impare, f(0) = 0 (dacă 0 ∈ D).

La examen — ce să știi

• Schema completă de studiu în ordine
• Criteriile I și II pentru extremele locale
• Convexitate din semnul lui f”
• Cum se identifică punctele de inflexiune (f” schimbă semnul, nu doar se anulează)
• Cum se trasează tabelul de variație corect