Mecanică
Oscilații și unde
Oscilații armonice, pendul, resort, ecuații de mișcare, unde mecanice, sunet.
Oscilația armonică — noțiuni
Un corp oscilează armonic dacă ecuația de mișcare este:
x(t) = A · cos(ωt + φ₀)
- A = amplitudinea [m] — deplasarea maximă față de poziția de echilibru
- ω = pulsația (viteza unghiulară) [rad/s]
- φ₀ = faza inițială [rad]
- T = perioada [s] — durata unui ciclu complet
- f = frecvența [Hz] = 1/T
Relație: ω = 2π/T = 2πf
Viteza și accelerația în oscilație armonică
v(t) = −Aω · sin(ωt + φ₀)
a(t) = −Aω² · cos(ωt + φ₀) = −ω²x
Accelerația este proporțională cu deplasarea și de semn opus — aceasta este condiția oscilației armonice.
Viteza maximă: v_max = Aω (în poziția de echilibru, x = 0)
Accelerația maximă: a_max = Aω² (la amplitudine, x = ±A)
Pendulul gravitațional
Masă m suspendată de un fir inextensibil de lungime l (oscilații mici, sub 10°).
Perioada: T = 2π√(l/g)
Observații:
- T nu depinde de masă și de amplitudine (pentru oscilații mici)
- T crește cu lungimea firului
- T scade când g crește (altitudine mai mică → g mai mare → T mai mic)
Pendulul elastic (oscilator masă-resort)
Masă m pe un resort cu constanta k (orizontal sau vertical).
Perioada: T = 2π√(m/k)
Observații:
- T crește cu masa (corp mai greu → oscilează mai lent)
- T scade cu constanta elastică (resort mai rigid → oscilează mai rapid)
- Pe verticală, poziția de echilibru se deplasează (alungire statică x₀ = mg/k), dar T este același
Energia oscilatorului armonic
E_c = ½mv² = ½mA²ω²sin²(ωt + φ₀)
E_pe = ½kx² = ½kA²cos²(ωt + φ₀)
E_m = E_c + E_pe = ½kA² = ½mA²ω² = constant
Energia mecanică totală este proporțională cu pătratul amplitudinii.
La x = 0 (echilibru): E_c = max, E_pe = 0
La x = ±A (capete): E_c = 0, E_pe = max
Unde mecanice
O undă mecanică = propagarea perturbației printr-un mediu elastic.
Transversale: oscilația ⊥ direcția de propagare (coarda vibrândă, undele pe apă)
Longitudinale: oscilația ∥ direcția de propagare (sunetul în aer)
Mărimi caracteristice
Lungimea de undă λ: distanța dintre două puncte consecutive în fază [m]
Relația fundamentală: v = λ · f = λ/T
v = viteza de propagare a undei (depinde de mediu, nu de sursă)
Sunetul
Undă mecanică longitudinală, domeniu audibil: 20 Hz – 20 000 Hz
- Sub 20 Hz: infrasunete
- Peste 20 000 Hz: ultrasunete
Viteza sunetului în aer: v ≈ 340 m/s (la 20°C)
v_aer < v_lichide < v_solide (sunetul se propagă mai repede în solide)
Intensitatea sunetului
Nivelul de intensitate sonoră: β = 10 · log(I/I₀) [dB]
I₀ = 10⁻¹² W/m² (pragul auzului)
Efectul Doppler
Schimbarea frecvenței percepute când sursa sau observatorul se mișcă.
Sursă care se apropie de observator: frecvența percepută > frecvența emisă
Sursă care se depărtează: frecvența percepută < frecvența emisă
f’ = f · (v ± v_obs) / (v ∓ v_s)
(+ la numărător dacă observatorul se apropie, − la numitor dacă sursa se apropie)
La examen
- La pendul: T depinde de l și g, nu de masă sau amplitudine (pentru unghi mic)
- La resort: T depinde de m și k, nu de amplitudine
- Viteza maximă în oscilație: v_max = Aω — se obține din energia mecanică tot atât de rapid
- La unde: v = λf — dacă se dă viteza și frecvența, calculezi λ și invers
- Efectul Doppler: semnul din formulă — apropiere → frecvență mai mare