Câmpul gravitațional

Legea gravitației universale (Newton)

Orice două corpuri cu masele m₁ și m₂, aflate la distanța r între centrele lor, se atrag reciproc cu forța:

F = G · m₁ · m₂ / r²

G = 6,67 · 10⁻¹¹ N·m²/kg² (constanta gravitațională universală)
r = distanța dintre centre [m]
Forța e de atracție (sens: de la un corp spre celălalt)

Legea are același caracter cu Legea Coulomb, dar gravitația e întotdeauna atractivă.

Câmpul gravitațional al unui corp de masă M = forța exercitată pe unitatea de masă:

g = F/m = G · M / r² [N/kg = m/s²]

Direcție: spre corpul sursă M (câmp central, atractiv).

La suprafața Pământului (r = R_P ≈ 6,37 · 10⁶ m, M_P ≈ 6 · 10²⁴ kg):

g₀ = G · M_P / R_P² ≈ 9,8 m/s²

Variația cu altitudinea h:

g(h) = G · M_P / (R_P + h)²

La altitudine mare, g scade. Astronauții nu sunt în imponderabilitate din cauza g ≈ 0, ci pentru că sunt în cădere liberă continuă (mișcare circulară orbitală).

Potențialul gravitațional

Energia potențială gravitațională a unui corp de masă m la distanța r față de centrul Pământului:

E_p = −G · M · m / r

(Negativă prin convenție: zero la r → ∞)

Potențialul gravitațional (energie per unitate de masă):

V_g = −G · M / r [J/kg]

Sateliți artificiali

Un satelit pe orbită circulară de rază r (față de centrul Pământului):

Forța gravitațională = forța centripetă:

G · M_P · m / r² = m · v² / r

Viteza orbitală:

v = √(G · M_P / r)

Perioada orbitală:

T = 2πr / v = 2π√(r³ / (G · M_P))

Pe măsură ce r crește, v scade și T crește — sateliții mai depărtați se mișcă mai lent.

Viteze cosmice

Prima viteză cosmică (v₁)

Viteza minimă pentru orbită circulară la suprafața Pământului (h ≈ 0, r = R_P):

v₁ = √(G · M_P / R_P) = √(g₀ · R_P) ≈ 7,9 km/s

A doua viteză cosmică (viteza de eliberare, v₂)

Viteza minimă pentru a scăpa complet din câmpul gravitațional al Pământului:

v₂ = √(2G · M_P / R_P) = √2 · v₁ ≈ 11,2 km/s

(Derivată din E_c = |E_p|: ½mv² = G·M_P·m/R_P)

Legile lui Kepler

Legea I (a orbitelor)

Fiecare planetă se mișcă pe o elipsă, cu Soarele într-unui din focare.

Legea II (a ariilor)

Raza vectoare a planetei mătură arii egale în timpi egali — planeta se mișcă mai repede când e mai aproape de Soare (periheliu) și mai lent la afeliu.

Legea III (a perioadelor)

Raportul dintre pătratele perioadelor și cuburile semiaxelor mari este același pentru toate planetele din sistemul solar:

T₁²/T₂² = a₁³/a₂³

sau echivalent: T²/a³ = constant

Pentru orbite circulare: a = r (raza orbitei).

Aplicație: dacă se cunosc T și r pentru un satelit, se poate determina masa corpului central M:

M = 4π²r³ / (G · T²)

Greutatea și imponderabilitatea

Greutatea unui corp = forța gravitațională exercitată de Pământ = m · g (la suprafață).

Greutatea aparentă = forța cu care corpul apasă pe suport (reacțiunea normală N):

În repaus pe Pământ: N = mg
În satelit (cădere liberă continuă): N = 0 → imponderabilitate

La examen

Legea gravitației: F = GM₁M₂/r² — r e distanța dintre centre (nu de la suprafață!)
v₁ și v₂: reține că v₂ = √2 · v₁ ≈ 11,2 km/s; v₁ ≈ 7,9 km/s
Legea III Kepler: T²/r³ = ct — dacă se dublează raza orbitei, T crește cu factor 2√2
La satelit: gravitația joacă rol de forță centripetă → egalează G·M·m/r² = mv²/r
Imponderabilitatea ≠ absența gravitației; satelitul cade continuu spre Pământ